Question

如圖，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC=3

2

，AD=AF，點D、E為BC邊上的兩點，且∠DAE=45°，連接EF、BF．
（1）求證：△AED≌△AEF；
（2）若BE=2，求DE的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠FAE=45°，即可證明△AED≌△AEF，即可解題；
（2）易證∠BAF=∠CAD，即可證明△ABF≌△ACD，可得∠ABF=∠C=45°，CD=BF，再根據(jù)（1）中結(jié)論可得EF=DE，根據(jù)BF²+BE²=EF²和DE+CD=4，即可求得EF的長，即可解題．

解答：（1）證明：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．
在△AED與△AEF中，

AD=AF ∠DAE=∠FAE=45° AE=AE

，
∴△AED≌△AEF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC=3

2

，
∴BC=6，∠ABC=∠C=45°，
∵∠BAC=∠DAF=90°，∠BAD+∠BAF=∠DAF，∠BAD+∠CAD=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAD，
在△ABF和△ACD中，

AF=AD ∠BAF=∠CAD AB=AC

，
∴△ABF≌△ACD，（SAS）
∴∠ABF=∠C=45°，CD=BF，
∴∠EBF=90°，
∵△AED≌△AEF，
∴EF=DE，
∵BF²+BE²=EF²，DE+CD=EF+BF=BC-BE=4，
∴DE=EF=

5

2

，BF=

3

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質(zhì)，本題中求證△AED≌△AEF和△ABF≌△ACD是解題的關(guān)鍵．