Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖象上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S₁、S₂、S₃、…、S_n，則S_n的值為

 

．（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：壓軸題,規(guī)律型

分析：根據(jù)直線解析式判斷出直線與x軸的夾角為45°，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出正方形的邊長并得到變化規(guī)律表示出第n個(gè)正方形的邊長，然后根據(jù)陰影部分的面積等于一個(gè)等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個(gè)直角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律解答即可．

解答：解：∵函數(shù)y=x與x軸的夾角為45°，
∴直線y=x與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，
∵A（8，4），
∴第四個(gè)正方形的邊長為8，
第三個(gè)正方形的邊長為4，
第二個(gè)正方形的邊長為2，
第一個(gè)正方形的邊長為1，
…，
第n個(gè)正方形的邊長為2^n-1，
由圖可知，S₁=

1

2

×1×1+

1

2

×（1+2）×2-

1

2

×（1+2）×2=

1

2

，
S₂=

1

2

×4×4+

1

2

×（4+8）×8-

1

2

×（4+8）×8=8，
…，
S_n為第2n與第2n-1個(gè)正方形中的陰影部分，
第2n個(gè)正方形的邊長為2^2n-1，第2n-1個(gè)正方形的邊長為2^2n-2，
S_n=

1

2

•2^2n-2•2^2n-2=2^4n-5．
故答案為：2^4n-5．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影S_n所在的正方形和正方形的邊長．