Question

11．已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD為AB邊上的高．動點P從點A出發(fā)，沿著△ABC的三條邊逆時針走一圈回到A點，速度為2cm/s，設(shè)運動時間為ts．
（1）求CD的長；
（2）t為何值時，△ACP為等腰三角形？
（3）若M為BC上一動點，N為AB上一動點，是否存在M，N使得AM+MN的值最小，如果有請尺規(guī)作出圖形（不必求最小值），如果沒有請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式計算；
（2）分點P在BC上和P在AB上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的判定定理計算；
（3）根據(jù)軸對稱-最短路徑的作法作圖即可．

解答 解：（1）∵AC²+BC²=36+64=100，AB²=100，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CD，
解得，CD=4.8cm；
（2）當(dāng)點P在BC上，CA=CP時，CP=6，
則t=12÷2=6s，
當(dāng)點P在AB上，CA=CP時，
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3.6，
如圖1，∵CA=CP，CD為AB邊上的高，
∴DP=AP=3.6，
則t=（24-7.2）÷2=8.4，
當(dāng)AC=AP時，t=（24-6）÷2=9，
當(dāng)PA=PC時，
如圖2，作PH⊥AC于H，
則AH=CH=3，HP=$\frac{1}{2}$BC=5，
由勾股定理得，AP=5，
則t=（24-5）÷2=9.5，
故當(dāng)t=6、8.4、9、9.5時，△ACP為等腰三角形；
（3）如圖3，作A點關(guān)于BC的對稱點A′，過A′作AB的垂線A′N，垂足為N，交BC于M點，M、N即為所求．

點評 本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、軸對稱的性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解軸對稱-最短路徑作圖是解題的關(guān)鍵．