Question

12．如圖，已知△ABC中，AC=BC，點D在△ABC外，且點D在AC的垂直平分線上，連接BD，BD與AC相交于點E，若∠DBC=30°，∠ACD=11°，則∠A=71度．

Answer 1

分析 作輔助線，構建全等三角形和垂直平分線，證明Rt△DNC和Rt△DMC（HL），得∠DCM=∠DCN=11°，求出∠AEB的度數，所以∠ACB=68°-30°=38°，則根據等腰三角形可求出∠A的度數．

解答 解：過C作CM⊥BD，交BD的延長線于M，過D作DN⊥AC于N，
∵點D在AC的垂直平分線上，
∴DN是AC的垂直平分線，
∴NC=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=BC，
∴NC=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BMC中，∠DBC=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$BC，
∴CM=CN，
在Rt△DNC和Rt△DMC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{CN=CM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL），
∴∠DCM=∠DCN=11°，
∴∠AEB=∠CEM=180°-∠M-∠NCM=180°-22°-90°=68°，
∵∠AEB=∠DBC+∠ACB，
∴∠ACB=68°-30°=38°，
∴∠BAC=$\frac{180°-38°}{2}$=71°，
即∠A=71°．
故答案為：71．

點評 本題考查了等腰三角形的性質和線段垂直平分線的性質，明確線段垂直平分線是經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，同時要熟知等腰三角形的兩個底角相等，與三角形內角和相結合，又利用了全等三角形的對應角相等，求出角的度數．