Question

1．如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)2，∠A=60°，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，若將△AEF沿直線EF折疊，使得點(diǎn)A恰好落在CD邊的中點(diǎn)G處，則EF=$\frac{7\sqrt{21}}{20}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CD，過點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)M，連接GB、BD，作FH⊥AE交于點(diǎn)H，由菱形的性質(zhì)和已知條件得出∠MFD=30°，設(shè)MD=x，則DF=2x，F(xiàn)M=$\sqrt{3}$x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）²+（$\sqrt{3}$x）²=（2-2x）²，解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH=$\frac{1}{2}$AF=0.7，F(xiàn)H=$\frac{7\sqrt{3}}{10}$，證明△DCB是等邊三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=$\sqrt{3}$，設(shè)BE=y，則GE=2-y，由勾股定理得出（$\sqrt{3}$）²+y²=（2-y）²，解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．

解答 解：延長(zhǎng)CD，過點(diǎn)F作FM⊥CD于點(diǎn)M，連接GB、BD，作FH⊥AE交于點(diǎn)H，如圖所示：
∵∠A=60°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠MDF=60°，
∴∠MFD=30°，
設(shè)MD=x，則DF=2x，F(xiàn)M=$\sqrt{3}$x，
∵DG=1，∴MG=x+1，
∴（x+1）²+（$\sqrt{3}$x）²=（2-2x）²，
解得：x=0.3，
∴DF=0.6，AF=1.4，
∴AH=$\frac{1}{2}$AF=0.7，F(xiàn)H=AF•sin∠A=1.4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{10}$，
∵CD=BC，∠C=60°，
∴△DCB是等邊三角形，
∵G是CD的中點(diǎn)，
∴BG⊥CD，
∵BC=2，GC=1，
∴BG=$\sqrt{3}$，
設(shè)BE=y，則GE=2-y，
∴（$\sqrt{3}$）²+y²=（2-y）²，
解得：y=0.25，
∴AE=1.75，
∴EH=AE-AH=1.75-0.7=1.05，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{1.0{5}^{2}+（\frac{7\sqrt{3}}{10}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{21}}{20}$．
故答案為：$\frac{7\sqrt{21}}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．