Question

7．如圖，BF是△ABC的角平分線，AM⊥BF于M，CE平分△ABC的外角，AN⊥CE于N，
（1）求證：MN∥BC；
（2）若AB=c，AC=b，BC=a，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AM交BC于G，延長(zhǎng)AN交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，先根據(jù)AAS證明△ABM≌△GBM，得出AM=GM，同理得出AN=HN，證出MN是△AGH的中位線，即可得出MN∥GH，MN=$\frac{1}{2}$GH；
（2）由△ABM≌△GBM得出BG=AB=c，同理得：CH=AC=b，求出GH=a-c+b，根據(jù)中位線定理即可求出MN．

解答 解：（1）延長(zhǎng)AM交BC于G，延長(zhǎng)AN交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖所示：
∵BF是△ABC的角平分線，AM⊥BF于M，
∴∠1=∠2，∠AMB=∠GMB=90°，
在△ABM和△GBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{BM=BM}&{\;}\\{∠AMB=∠GMB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△GBM（ASA），
∴AM=GM，
同理可證：AN=HN，
∴MN是△AGH的中位線，
∴MN∥GH，MN=$\frac{1}{2}$GH，
∴MN∥BC；
（2）由△ABM≌△GBM得：BG=AB=c，
同理得：CH=AC=b，
∴GC=BC-BG=a-c，
∴GH=a-c+b，
∴MN=$\frac{1}{2}$（a-c+b）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理；通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．