Question

19．如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：△BPO≌△PDE；
（2）若PB平分∠ABO，其余條件不變，求證：AP=CD；
（3）若點(diǎn)P是一個動點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動到OC的中點(diǎn)時，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在射線BC上運(yùn)動，DE⊥射線AC于E，設(shè)CD=x，AP=y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）設(shè)OP=CP=a，求出AP=3a，CD=$\sqrt{2}$a，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
∵$\left\{\begin{array}{l}∠3=∠4\\∠BOP=∠PED\\ BP=PD\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
∵$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠C\\∠ABP=∠4\\ PB=CD\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．

（3）解：x與y的數(shù)量關(guān)系是x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$y．
理由：如圖，設(shè)OP=PC=a，則AO=OC=2a=BO，
則AP=2a+a=3a，
由△OBP≌△EPD，得BO=PE，
PE=2a，CE=2a-a=a，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=a，由勾股定理得：CD=$\sqrt{2}$a，
即y=3a，x=$\sqrt{2}$a，
∴x與y的數(shù)量關(guān)系是x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$y．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．