Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行x軸，交y軸于點(diǎn)A，第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上，連結(jié)OB，動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點(diǎn)C．
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，1），求PA的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，求PA：PC的值；
（3）在（2）的條件下，已知AB=3，OB：BP=3：1，求四邊形AOCP的面積．

Answer 1

分析 （1）易得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），即可得到PA的長(zhǎng)．
（2）易證∠AOB=45°，由角平分線的性質(zhì)可得PM=PN，然后通過證明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．
（3）易證四邊形OMPN為正方形，利用AB=3，OB：BP=3：1，求出對(duì)角線OP的長(zhǎng)，再求出S_{正方形OMPN}，利用三角形全等，進(jìn)行等積變換，S_{四邊形AOCO}=S_{正方形OMPN}．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，1），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1）．
∴PA的長(zhǎng)為2．
（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示．
∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，
∴OA=AB．
∵∠OAB=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°．
∵∠AOC=90°，
∴∠POC=45°．
∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=∠OMP=90°．
∴∠NPM=90°．
∵∠APC=90°．
∴∠APN=90°-∠APM=∠CPM．
在△ANP和△CMP中，
∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP≌△CMP．
∴PA=PC．
∴PA：PC的值為1：1．
（3）∵∠ANP=∠MON=∠OMP=90°
∴四邊形OMPN為矩形
∵PM=PN
∴四邊形OMPN為正方形
∵∠OAB=90°，OA=AB=3
∴OB=$3\sqrt{2}$
∵OB：BP=3：1
∴BP=$\sqrt{2}$
∴OP=$4\sqrt{2}$
∴S_{正方形OMPN}=$\frac{{{{（{4\sqrt{2}}）}^2}}}{2}=16$
∵△ANP≌△CMP．
∴S_△ANP≌S_△CMP．
∴S_{四邊形AOCO}=S_{正方形OMPN}=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形和正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，等積變換等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．