Question

16．如圖（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F．
（1）若點(diǎn)F剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)射線AF交線段CD于點(diǎn)G時(shí)，請(qǐng)直接寫出CG的最大值4-$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，MN是線段AD的中垂線，作FH⊥CD于H．設(shè)CE=EF=x，在Rt△EFH中，根據(jù)EF²=FH²+HE²，構(gòu)建方程即可解決問題．
（2）如圖2中，MN是線段AB的中垂線，設(shè)EF=CE=x．在Rt△EFN中，根據(jù)EF²=FN²+NE²，構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，由DG=AD•tan∠GAD，推出∠GAD最小時(shí)，DG的值最小，由BF=BC，BF是定值，推出當(dāng)BF⊥AG時(shí)，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，當(dāng)BF⊥AG時(shí)，易知點(diǎn)E與點(diǎn)G共點(diǎn)，設(shè)CG=GF=x，在Rt△ADE中，根據(jù)AD²+DG²=AG²，構(gòu)建方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，MN是線段AD的中垂線，作FH⊥CD于H．

在Rt△BFM中，∵BF=BC=3，BM=$\frac{3}{2}$，
∴FM=CH=$\sqrt{B{F}^{2}-B{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，設(shè)CE=EF=x，
在Rt△EFH中，∵EF²=FH²+HE²，
∴x²=（$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴CE=$\sqrt{3}$．

（2）如圖2中，MN是線段AB的中垂線，設(shè)EF=CE=x．

在Rt△BFM中，∵∠BMF=90°，BM=2，BF=BC=3，
∴MF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵M(jìn)N=BC=3，
∴FN=3-$\sqrt{5}$，EN=2-x，
在Rt△EFN中，∵EF²=FN²+NE²，
∴x²=（3-$\sqrt{5}$）²+（2-x）²，
∴x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$．

（3）如圖3中，

欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，
∵DG=AD•tan∠GAD，
∴∠GAD最小時(shí)，DG的值最小，
∵BF=BC，BF是定值，
∴當(dāng)BF⊥AG時(shí)，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，
當(dāng)BF⊥AG時(shí)，易知點(diǎn)E與點(diǎn)G共點(diǎn)，
設(shè)CG=GF=x，
在Rt△ABF中，∵∠AFB=90°，AB=4，BF=BC=3，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
在Rt△ADE中，∵AD²+DG²=AG²，
∴3²+（4-x）²=（$\sqrt{7}$+x）²，
∴x=4-$\sqrt{7}$．
∴CG的最大值為4-$\sqrt{7}$，
故答案為4-$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．