Question

6．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，點C在線段AB上從點A向點B運動，與點B重合時停止運動．以O(shè)C為邊向左側(cè)作正方形OEDC，則動點D的運動路徑長為8$\sqrt{2}$，在點C運動的過程中，正方形OEDC的邊與⊙O沒有公共點時，AC長的取值范圍是4-$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜AC＜4+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．．

Answer 1

分析 如圖1中，點D運動的軌跡是線段D₁D₂，分別在RtODD₁和Rt△ODD₂中，求出DD₁，DD₂即可．如圖2中，作OM⊥AB于M，分別求出AC₁，AC₂即可解決問題．

解答 解：如圖1中，點D運動的軌跡是線段D₁D₂．

當(dāng)點D在線段AB上時，∵OC⊥AB，
∴AC=CB=4，
在Rt△AOC中，∵∠OCA=90°，OA=5，AC=4，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴OD=$\sqrt{2}$OC=3$\sqrt{2}$，
當(dāng)點C₁與B重合時，OD₁=$\sqrt{2}$OB=5$\sqrt{2}$，
DD₁=$\sqrt{O{{D}_{1}}^{2}-O{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)點C₂與A重合時，可得DD₂=4$\sqrt{2}$，
∴動點D的運動路徑長為8$\sqrt{2}$．
如圖2中，作OM⊥AB于M，由（1）可知OM=3，

當(dāng)D₁在⊙O₁上時，∵△OD₁C₁是等腰直角三角形，OD₁=5，
∴OC₁=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△OMC₁中，C₁M=$\sqrt{O{{C}_{1}}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴AC₁=4-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
當(dāng)D₂在⊙O上時，同法可得MC₂=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴AC₂=4+$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴正方形OEDC的邊與⊙O沒有公共點時，AC長的取值范圍是4-$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜AC＜4+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
故答案分別為8$\sqrt{2}$，4-$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜AC＜4+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點評 本題考查軌跡、正方形的性質(zhì)、勾股定理、圓的有關(guān)知識．解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會取特殊點探究問題，屬于中考�？碱}型．