Question

2．已知Rt△ABC≌Rt△CDE；現(xiàn)將它們擺放成圖①所示位置，其中B、C、D三點在同一直線上，連接AE．
（1）如圖①，若AB=2，BC=4，求AE的長；
（2）如圖②，取AE的中點M，連接BM、DM，證明：BM=DM；
（3）如圖③，將圖①的Rt△CDE以直線CD為對稱軸向下翻折，仍然連接AE，取AE的中點M，連接BM、DM，請問：BM=DM還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DCE，AC=CE，利用角與角之間的數(shù)量關系以及直角的性質(zhì)即可證明AC⊥CE，再利用勾股定理即可求出AE的長；
（2）連接CM，證明出△ABM≌△CDM，即可得到BM=DM；
（3）延長BM交DE于點N，利用AAS證明△ABM≌△ENM，于是得到BM=MN，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BM=DM．

解答 解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，AC=CE，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC+∠BCA=90°，
∴∠DCE+∠BCA=90°，
∵B，C，D三點共線，
∴∠ACE=180°-（∠DCE+∠BCA）=90°，
∴AC⊥CE，
∴AE²=AC²+CE²，
∵AC²=AB²+BC²，
∴AE=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{5}$=2$\sqrt{10}$；
（2）連接CM，如圖②，
∵△ACE是直角三角形，點M是AE的中點，
∴CM=AM=$\frac{1}{2}$AE，
在△ABM和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAM=∠DCM}\\{AM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CDM，
∴BM=DM；
（3）如圖③，延長BM交DE于點N，
∵∠ABD=∠CDE=90°，
∴AB∥DE，
∴∠BAM=∠DEM，
在△ABM和△ENM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DEM}\\{∠AMB=∠NME}\\{AM=EM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ENM，
∴BM=MN，
在Rt△BDN中，
∵M是BN的中點，
∴BM=MN=DM=$\frac{1}{2}$BN，
∴BM=DM．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的知識，解答本題的關鍵是作輔助線構(gòu)造兩個全等的三角形，此題還需要掌握全等三角形的判定定理，此題難度不大．