Question

如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上一點(diǎn)，連接DE、EF，且AE=AF，∠DAE=∠BAF．  
（1）求證：CE=CF；
（2）若∠ABC=120°，點(diǎn)G是線段AF的中點(diǎn)，連接DG，EG．求證：DG⊥GE．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）欲證明CE=CF，只需證得BE=DF，所以利用全等三角形△ABE≌△ADF的性質(zhì)來(lái)推知BE=DF即可；
（2）如圖，延長(zhǎng)EG到點(diǎn)H，使HG=EG，連接HA、HD．構(gòu)建全等三角形△HAG≌△EFG、△HAD≌△ECD、△DGH≌△DGE，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等來(lái)證明∠DGH=∠DGE=90°，即DG⊥GE．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC．
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠BAE=∠DAF．
在△ABE與△ADF中，

AE=AF ∠BAE=∠DAF AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，
∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF；

（2）如圖，延長(zhǎng)EG到點(diǎn)H，使HG=EG，連接HA、HD．
∵點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)，
∴AG=FG，
在△HAG與△EFG中，

HG=EG ∠HGA=∠EGF AG=FG

，
∴△HAG≌△EFG（SAS），
∴EF=AH，∠HAG=∠EFG，
∴AH∥EF．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=BC=AD．
∵由（1）知，BE=DF，且∠BAE=∠DAF，EC=FC．
∵∠ABC=120°，
∴∠C=60°，
∴△EFC是等邊三角形，
∴∠FEC=60°，
∴EC=FE．
由上述知，F(xiàn)E=HA，
∴EC=HA，∠HAG=∠HAD+∠DAF=∠EFG．
∵AF=AE，
∴∠FEF=∠AEF．
∵∠BAD=60°，
∴∠EAF=60°-∠BAE-∠DAF=60°-2∠DAF．
在△AEF中，∠EAF=108°-∠AEF-∠EFG=180°-2∠EFG=180°-2（∠HAD+∠DAF），
∴∠HAD=60°．
在△HAD與△ECD中，

EC=HA ∠FEC=∠HAD=60° DC=AD

，
∴△HAD≌△ECD（SAS），
∴DE=DH，
易證△DGH≌△DGE，
故∠DGH=∠DGE=90°，即DG⊥GE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用菱形的性質(zhì)證明三角形全等是關(guān)鍵．