Question

如圖，在⊙O中，

AB

=

AC

，D為弧AC上一點，且∠CDB=60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形．
（2）過點B作BP∥CD，交DA延長線于點P，請依題意畫出示意圖．若AD=1，CD=5，求BD的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用圓周角定理和圓周角、弧、弦的關(guān)系得到AB=AC，∠A=60°，則ABC是等邊三角形．
（2）過A作BP的垂線，交BP于E，交CD的延長線于F，先證△BPD是等邊三角形，得出BD=PD=BP，再求出AC，設(shè)BD=PD=BP=x，求出AP、PE、AE、BE，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理AE²+BE²=AB²，即可求出x．

解答：（1）證明：∵在⊙O中，

AB

=

AC

，
∴AB=AC．
又∵∠CDB=60°，∠CDB=∠A，
∴∠A=60°，
∴等腰△ABC是等邊三角形．
（2）由（1）得，△ABC1是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠ADC=60°+60°=120°，
∵BP∥CD，
∴∠P+∠ADC=180得，
∴∠P=60°，
∴∠P=∠ADB=60°，
∴BD=BP，
∴△BPD是等邊三角形，
∴BD=PD=BP，
過A作BP的垂線，交BP于E，交CD的延長線于F，如圖所示：
∵BP∥CD，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF=180°-120°=60°，∠DAF=30°，
∴DF=

1

2

CD=

1

2

，AF=

3

2

，
∴CF=

11

2

，AC²=AF²+CF²=(

3

2

)2+(

11

2

)2=31，
∴AC=

31

，
設(shè)BD=PD=BP=x，則AP=x-1，PE=

x-1

2

，AE=

3 (x-1)

2

，BE=

x+1

2

，
在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
即(

x-1

2

)2+(

3 x- 3

2

)2=(

31

)2，
解得x=6，或x=-5（舍去），
即BD=6．

點評：本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運用；通過作輔助線證明等邊三角形和運用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．