Question

1．已知拋物線l₁：y=-x²+2x+3與x軸交于點A、B（點A在點B左邊），與y軸交于點C，拋物線l₂經過點A，與x軸的另一個交點為E（4，0），與y軸交于點D（0，-2）．
（1）求拋物線l₂的解析式；
（2）點P為線段AB上一動點（不與A、B重合），過點P作y軸的平行線交拋物線l₁于點M，交拋物線l₂于點N．
①當四邊形AMBN的面積最大時，求點P的坐標；
②當CM=DN≠0時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）令拋物線l₁：y=0，可求得點A和點B的坐標，然后設設拋物線l₂的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點D的坐標代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）①由點A和點B的坐標可求得AB的長，設P（x，0），則M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．然后依據S_AMBN=$\frac{1}{2}$AB•MN列出S與x的函數關系，從而可得到當S有最大值時，x的值，于是可得到點P的坐標；②CM與DN不平行時，可證明四邊形CDNM為等腰梯形，然后可證明GM=HN，設P（x，0），則M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．從而可列出關于x的方程，于是可求得點P的坐標；當CM∥DN時，四邊形CDNM為平行四邊形．故此DC=MN=5，從而得到關于x的方程，從而可求得點P的坐標．

解答 解：（1）∵令-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
設拋物線l₂的解析式為y=a（x+1）（x-4）．
∵將D（0，-2）代入得：-4a=-2，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）①如圖1所示：

∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4．
設P（x，0），則M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．
∵MN⊥AB，
∴S_AMBN=$\frac{1}{2}$AB•MN=-3x²+7x+10（-1＜x＜3）．
∴當x=$\frac{7}{6}$時，S_AMBN有最大值．
∴此時P的坐標為（$\frac{7}{6}$，0）．
②如圖2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN，
∴四邊形CDNM為等腰梯形．
∴∠DNH=∠CMG．
在△CGM和△DNH中$\left\{\begin{array}{l}{∠DNH=∠CMG}\\{∠DHN=∠CGM}\\{DN=CM}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△DNH．
∴MG=HN．
∴PM-PN=1．
設P（x，0），則M（x，-x²+2x+3），N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．
∴（-x²+2x+3）+（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=1，解得：x₁=0（舍去），x₂=1．
∴P（1，0）．
當CM∥DN時，如圖3所示：

∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四邊形CDNM為平行四邊形．
∴DC=MN．=5
∴-x²+2x+3-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=5，
∴x₁=0（舍去），x₂=$\frac{7}{3}$，
∴P（$\frac{7}{3}$，0）．
總上所述P點坐標為（1，0），或（$\frac{7}{3}$，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式、等腰梯形的性質、全等三角形的性質、平行四邊形的性質和判定，依MN=DC=5、PM-PN=1列出關于P的橫坐標x的方程是解題的關鍵．