Question

15．如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）證明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度數(shù)；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠ABC=116°時，則∠EPC=64°．

Answer 1

分析 （1）先利用正方形的性質(zhì)得，BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，則根據(jù)“SAS”可判定△ABP≌△CBP，所以PA=PC，于是得到PC=PE；
（2）利用△ABP≌△CBP得到∠PAB=∠PCB，根據(jù)等角的余角相等得到∠PAD=∠PCD，再利用PA=PE得到∠PAE=∠E，所以∠PCD=∠E，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到∠CPF=∠EDF=90°，
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BA=BC，∠ABD=∠CBD=58°，∠ADC=∠ABC=116°，則∠EDC=64°，與（2）同樣的方法證明∠CPF=∠EDF=64°．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABP和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）解：∵△ABP≌△CBP，
∴∠PAB=∠PCB，
∴∠PAD=∠PCD，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠E，
∴∠PCD=∠E，
而∠DFE=∠PFC，
∴∠CPF=∠EDF=90°，
（3）∵四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BC，∠ABD=∠CBD=58°，∠ADC=∠ABC=116°，
∴∠EDC=64°，
在△ABP和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠PAB=∠PCB，
∴∠PAD=∠PCP，
∵PA=PE，
∴∠PAD=∠PEA，
∴∠PCD=∠PED
而∠DFE=∠PFC，
∴∠CPF=∠EDF=64°．
故答案為64°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．