Question

14．定義：y是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，若對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)x，函數(shù)y的值為三數(shù)x+2，2x+1，-5x+20中的最小值，則函數(shù)y叫做這三數(shù)的最小值函數(shù)．
（1）畫(huà)出這個(gè)最小值函數(shù)的圖象，并判斷點(diǎn)A（1，3）是否為這個(gè)最小值函數(shù)圖象上的點(diǎn)；
（2）設(shè)這個(gè)最小值函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為B，點(diǎn)A（1，3），動(dòng)點(diǎn)M（m，m）．
①直接寫(xiě)出△ABM的面積，其面積是2；
②若以M為圓心的圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
③以②中的點(diǎn)M為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑作圓．在此圓上找一點(diǎn)P，使PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB的值最小，直接寫(xiě)出此最小值．
附：下列知識(shí)可直接應(yīng)用：
1、中點(diǎn)公式：已知A（x₁，y₁）與 B（x₂，y₂），則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M （ $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$ ）
2、如果兩條直線y=k1x+m，和y=k2x+n垂直，則k1•k2=-1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三數(shù)的最小值函數(shù)的定義畫(huà)出圖象即可，根據(jù)圖象可以判斷點(diǎn)A的位置．
（2）①如圖2中，作ON⊥AB于N，由AB∥OM，得S_△ABM=S_△ABO由此即可判斷．
②求出線段AB的中垂線，再列出方程組即可解決問(wèn)題．
③取MB的中點(diǎn)D，P為圓上任意一點(diǎn)，PM=$\sqrt{2}$，MB=2，MD=1，可證△MPD∽△MBP，則PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB 最小也就是PA+PD最小，求出AD的值即可．

解答 解：（1）最小值函數(shù)的圖象見(jiàn)圖中實(shí)線，

∵x=1時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)A（1，3）在這個(gè)最小值函數(shù)的圖象上．
（2）①如圖2中，作ON⊥AB于N．

∵AB∥OM，
∴S_△ABM=S_△ABO，
∵A91，3），B（3，5），ON=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．
故答案為：2．
②∵直線AB的解析式為y=x+2，
∴線段AB的中垂線的解析式為y=y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，3）；
③PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB的最小值為$\sqrt{5}$，理由如下：
如圖，A（1，3）B（3，5），M（3，3），
取MB的中點(diǎn)D，P為圓上任意一點(diǎn)，PM=$\sqrt{2}$，MB=2，MD=1，可證△MPD∽△MBP，
可得PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB，則PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB 最小也就是PA+PD最小，所以連接AD，線段AD的長(zhǎng)是所求的最小值，最小值為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、一次函數(shù)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考?jí)狠S題．