Question

17．如圖，已知等邊△ABC的邊長為6，D、E分別是AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，DE∥BC，將線段CE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段CF，連接DF，則當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，DF的中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖，取BC中點(diǎn)N，連接NM，將線段BD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BG，連接DG．點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí)，易知DG=2•AB•cos30°=6$\sqrt{3}$，推出MN=$\frac{1}{2}$DG=3$\sqrt{3}$．

解答 解：如圖，取BC中點(diǎn)N，連接NM，將線段BD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段BG，連接DG．

∵△ABD是等邊三角形，DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，BD=EC，
∵BD=BG，CE=CF，BN=CN，
∴NG=FN，∵DM=MF，
∴MN=$\frac{1}{2}$DG，MN∥DG，∠MNF=∠G=30°，
易知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，當(dāng)點(diǎn)D與A重合時(shí)，易知DG=2•AB•cos30°=6$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$DG=3$\sqrt{3}$，
故答案為3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、三角形的中位線定理、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．