Question

3．已知：如圖BD、CE是△ABC的外角平分線，AD⊥BD，AE⊥CE，△ABC的周長為2，求DE的長．

Answer 1

分析 延長AD、AE交BC于F、M，首先證明△ABD≌△FBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=DF，AB=BF，同理可得AE=ME，AC=MC，然后再根據(jù)△ABC的周長為2可得MF長，根據(jù)三角形中位線定理可得DE長．

解答 解：延長AD、AE交BC于F、M，
∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD=∠FBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠BDF=90°，
在△ADB和△FDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠FDB}\\{BD=BD}\\{∠ABD=∠FBD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD=DF，AB=BF，
同理可得AE=ME，AC=MC，
∵△ABC的周長為2，
∴AB+BC+AC=2，
∴BF+BC+CM=2，
∴FM=2，
∵AD=DF，AE=ME，
∴DE=$\frac{1}{2}$FM=1．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明DE為△AFM的中位線．