Question

已知直線l：y=

1

2

x+1與拋物線y=ax²-2x+c（a＞0）的一個公共點A恰好在x軸上，點B（4，m）在拋物線上．
（Ⅰ）用含a的代數(shù)式表示c．
（Ⅱ）拋物線在A，B之間的部分（不包含點A，B）記為圖形G，請結(jié)合函數(shù)圖象解答：若圖形G在直線l下方，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）先利用一次函數(shù)解析式求出A點坐標為（-2，0），然后把A點坐標代入拋物線解析式即可得到a與c的關(guān)系式；
（2）先分別計算出x=4時所對應(yīng)的一次函數(shù)值和二次函數(shù)值，然后利用圖形G在直線l下方得到12-12a≤3，然后解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）當y=0時，

1

2

x+1=0，解得x=-2，則A點坐標為（-2，0），
把A（-2，0）代入y=ax²-2x+c得4a+4+c=0，
所以c=-4a-4；
（Ⅱ）當x=4時，y=ax²-2x+c=16a-8-4a-4=12a-12，則B（4，12a-12），
當x=4時，y=

1

2

x+1=3，
因為圖形G在直線l下方，
所以12-12a≤3，
解得a≤

5

4

，
所以a的取值范圍為0＜a≤

5

4

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當a＞0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而減��；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最低點．當a＜0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而減�。粁=-

b

2a

時，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最高點．