Question

14．正方形的邊心距為1，則半徑為$\sqrt{2}$，邊長(zhǎng)為2；等邊三角形的半徑為2，則邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，面積為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖1，據(jù)題意首先求出OB、BE的長(zhǎng)，即可解決問題．如圖2，連接OB，作OD⊥BC于D，則∠ODB=90°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠OBD=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC，由三角函數(shù)求出OD的數(shù)值，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OB=2OD，即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖1，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，
∴∠OBE=45°，而OE⊥BC，
∴BE=CE；
∵OE=1，
∴sin45°=$\frac{OE}{BO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，BC=2，
正方形的邊心距為1，則半徑為：$\sqrt{2}$，邊長(zhǎng)為：2；
連接OB，作OD⊥BC于D，如圖2所示：
則∠ODB=90°，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵OB=2，
∴OD=1，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
BC=2$\sqrt{3}$，
面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{2}$，2，2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)及其應(yīng)用問題和正三角形的性質(zhì)和有關(guān)計(jì)算；解疑的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答；對(duì)綜合運(yùn)用能力提出了一定的要求．