Question

15．將兩塊全等的含30°角的三角尺按如圖1所示的方式擺放在一起，它們較短的直角邊BC=EC=3．
（1）將△ECD沿直線l向左平移到圖2的位置，使點E′落在AB上，則CC′=3-$\sqrt{3}$；
（2）將△ECD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，使點E′落在AB上，則△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為30°；
（3）將△ECD沿直線AC翻折到圖4的位置，ED′與AB相交于點F，求證：AF=FD′．

Answer 1

分析 （1）先判斷出C'E'=3，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出BE'=2BC，最后用勾股定理求出BC'即可得出結(jié)論．
（2）△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE'的度數(shù)；易得：∠ECE′=∠BAC=30°；
（3）根據(jù)條件，證明△AEF≌△D′BF進而得出AF=FD′

解答 （1）解：CC′=3-$\sqrt{3}$．
理由如下：由平移知，C'E'∥AC，C'E'=CE=3，
∴∠BE'C'=∠A=30°，
∵BC=EC=3，
在Rt△BC'E'中，∠BE'C'=30°，
根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，得BE'=2BC'
∴BE'²-BC'²=C'E'²，
即：4BC'²-BC'²=9，
∴BC'=$\sqrt{3}$，
∴CC′=BC-BC'=3-$\sqrt{3}$；
故答案為：3-$\sqrt{3}$；

（2）解：△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE′的度數(shù)；
∵∠ABC=60°，BC=CE′=3，AB=6，
∴△E′BC是等邊三角形，
∴BC=E′C=E′B=3，
∴AE′=E′C=3，
∴∠E′AC=∠E′CA，
∴∠ECE′=∠BAC=30°；
故答案為：30°；

（3）證明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC，D′B=D′C-BC，
又∵AC=D′C，EC=BC，
∴AE=D′B，
又∵∠AEF=∠D′BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD′E=30°，
∴△AEF≌△D′BF，
∴AF=FD'

點評 本題考查平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平移的基本性質(zhì)是：①平移不改變圖形的形狀和大��；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對應(yīng)點連線的交點是旋轉(zhuǎn)中心．