Question

16．如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、F、G，連接ED、DG．
（1）請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作DH⊥BC于H，由四邊形EBGD為菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解決問題．

解答 解：（1）四邊形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠GBF}\\{∠EFD=∠GFB}\\{DF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四邊形EBGD是菱形．

（2）作DH⊥BC于H，
∵四邊形EBGD為菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH=$\sqrt{3}$，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．