Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O是邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作圓O與邊AB相交于點(diǎn)D．

（1）如圖1，當(dāng)圓O過(guò)點(diǎn)C時(shí)，取BC邊中點(diǎn)E，連接DE，求證：DE是圓O的切線；
（2）如圖2，圓O與邊AC相交于點(diǎn)F，若AO=OF=FC，AD=BD，求∠BAC的正切值；
（3）如圖3，若$\frac{AD}{DB}$=$\frac{4}{5}$，AC=$\sqrt{2}$AD，求$\frac{AO}{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先證明ED=EC，推出∠EDC=∠ECD，由OD=OC，推出∠OCD=∠ODC，由∠OCD+∠ECD=90°，推出∠ODC+∠EDC=90°即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2中，連接DF、BF．只要證明DF垂直平分線段AB，可得BF=AF=2OF，推出∠CFB=60°即可解決問(wèn)題；
（3）如圖3中，延長(zhǎng)GC交⊙O于F，連接DF、OG．由OC⊥FG，推出CF=CG，設(shè)CF=CG=x，BG=y，AD=4k，BD=5k，AC=4$\sqrt{2}$k，構(gòu)建方程組，求出x、y即可，再在Rt△
OCG中，設(shè)OA=OG=m，利用勾股定理列出方程即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）如圖1中，連接OD、CD．

∵AC是直徑，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵CE=EB，
∴DE=EC=EB，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠OC=∠ODC，
∵∠OCD+∠DCB=∠ACB=90°，
∴∠ODC+∠EDC=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）如圖2中，連接DF、BF．

∵AF是直徑，
∴∠ADF=90°，
∴FD⊥AB，
∵AD=BD，
∴FA=FB，
∵OA=OF=FC，
∴BF=2FC，
在Rt△BCF中，cos∠CFB=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CFB=60°，
∵FA=FB，
∴∠FAB=∠FBA，
∵∠CFB=∠FAB+∠FBA=60°，
∴∠FAB=∠FBA=30°，
∴tan∠BAC=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（3）如圖3中，延長(zhǎng)GC交⊙O于F，連接DF、OG．

∵OC⊥FG，
∴CF=CG，設(shè)CF=CG=x，BG=y，AD=4k，BD=5k，AC=4$\sqrt{2}$k，
在Rt△ACB中，∵AC²+BC²=AB²，
∴32k²+（x+y）²=81k²   ①，
由△BDF∽△BGA，可得BD•BA=BG•BF，
∴45k²=y（y+2x）    ②
由①②可得：x=2k，y=5k，設(shè)OA=OG=m，
在Rt△OCG中，∵OG²=OC²+CG²，
∴m²=（4$\sqrt{2}$k-m）²+（2k）²，
∴m=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$k，
∴OA=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$k，OC=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$k，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{\frac{9\sqrt{2}}{4}k}{\frac{7\sqrt{2}}{4}k}$=$\frac{9}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、切線的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、二元二次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．