Question

如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DM交AC于D，垂足為M．
（1）若∠CBD：∠CBA=4：7，求∠A；
（2）若CD=5，BC=12，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質

專題：

分析：（1）先根據∠CBD：∠CBA=4：7可設∠CBD=4x，則∠ABD=3x，再由DM是線段AB的垂直平分線得出AD=BD，故∠A=∠ABD，根據直角三角形的性質即可得出結論；
（2）先根據勾股定理求出BD的長，再由線段垂直平分線的性質得出AD的長，由三角形的面積公式即可得出結論．

解答：解：（1）∵∠CBD：∠CBA=4：7，
∴設∠CBD=4x，則∠ABD=3x．
∵DM是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=3x，
∵∠C=90°，
∴∠CBA+∠A=90°，即7x+3x=90°，解得x=（

9

10

）°，
∴∠A=3x=（

27

10

）°；

（2）∵CD=5，BC=12，
∴BD=

122+52

=13．
∵DM是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD=13，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

×12×（12+5）=102．

點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解答此題的關鍵．