Question

4．如圖，點A₀位于坐標(biāo)原點，點A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₅在y軸的正半軸上，點B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₅在二次函數(shù)$y=\frac{2}{3}{x^2}$位于第一象限的圖象上，△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₄B₂₀₁₅A₂₀₁₅都是等邊三角形，則△A₂₀₁₄B₂₀₁₅A₂₀₁₅的邊長為（　�。�

• A． 2014
• B． 2015
• C． $2014\sqrt{3}$
• D． $2015\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過點B₁作B₁C⊥y軸于C，B₂D⊥y軸于D，B₃E⊥y軸于E，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系確定C點坐標(biāo)，則可得到△A₀B₁A₁△的邊長，同樣方法得到A₁A₂和A₂A₃的長，利用此規(guī)律可判斷△A₂₀₁₄B₂₀₁₅A₂₀₁₅的邊長．

解答 解：過點B₁作B₁C⊥y軸于C，B₂D⊥y軸于D，B₃E⊥y軸于E，如圖，
設(shè)OC=t，則B₁C=$\sqrt{3}$，
∴B₁（$\sqrt{3}$t，t），
把B₁（$\sqrt{3}$t，t）代入$y=\frac{2}{3}{x^2}$得t=$\frac{2}{3}$•3t²，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{1}{2}$，
∴A₀A₁=2OC=1，
設(shè)A₁D=m，則B₂D=$\sqrt{3}$m，
∴B₂（$\sqrt{3}$m，1+m），
把B₁（$\sqrt{3}$m，1+m）代入$y=\frac{2}{3}{x^2}$得1+m=$\frac{2}{3}$•3m²，解得m₁=-$\frac{1}{2}$（舍去），m₂=1，
∴A₁A₂=2A₁D=2，
同樣可得A₂A₃=2A₂E=3，
所以△A₂₀₁₄B₂₀₁₅A₂₀₁₅的邊長為2015．
故選B．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是其出A₁、A₂、A₃的坐標(biāo)，然后利用計算的結(jié)果找出規(guī)律．