Question

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，sin∠EMP=$\frac{12}{13}$．
（1）如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，求CM的長；
（2）如圖2，當(dāng)點E在邊AC上時，點E不與點A，C重合，設(shè)AP=x，BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）若△AME∽△ENB，求AP的長．

Answer 1

分析 （（1）本題需先根據(jù)已知條件得出AC的值，再根據(jù)CP⊥AB求出CP，從而得出CM的值．
（2）本題需先根據(jù)EN，根據(jù)sin∠EMP=$\frac{12}{13}$，設(shè)出EP的值，從而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出$\frac{PE}{AP}$=$\frac{BC}{AC}$，求出a的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并且能求出函數(shù)的定義域．
（3）本題需先設(shè)EP的值，得出則EM和MP的值，然后分①點E在AC上時，根據(jù)△AEP∽△ABC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據(jù)△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長；②點E在BC上時，根據(jù)△EBP∽△ABCC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據(jù)△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{5{0}^{2}-3{0}^{2}}$=40，
∵CP⊥AB，
∴$\frac{AB•CP}{2}$=$\frac{AC•BC}{2}$，
∴$\frac{30×40}{2}$=$\frac{50•CP}{2}$，
∴CP=24，
∴CM=$\frac{CP}{sin∠EMP}$=$\frac{24}{\frac{12}{13}}$=26；

（2）∵sin∠EMP=$\frac{12}{13}$，
∴設(shè)EP=12a，
則EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴$\frac{PE}{AP}=\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{12a}{x}$=$\frac{30}{40}$
∴x=16a，
∴a=$\frac{x}{16}$，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a，
=50-21×$\frac{x}{16}$，
=50-$\frac{21}{16}$x，
∵當(dāng)E點與A點重合時，x=0．當(dāng)E點與C點重合時，x=32．
∴函數(shù)的定義域是：（0＜x＜32）；
（3）
①當(dāng)點E在AC上時，如圖2，設(shè)EP=12a，則EM=13a，MP=NP=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{EP}{BC}$，
∴$\frac{AP}{40}$=$\frac{12a}{30}$，
∴AP=16a，
∴AM=11a，
∴BN=50-16a-5a=50-21a，
∵△AME∽△ENB，
∴$\frac{AM}{EN}$=$\frac{EM}{NB}$
∴$\frac{11a}{13a}$=$\frac{13a}{50-21a}$，
∴a=$\frac{11}{8}$，
∴AP=16×$\frac{11}{8}$=22，
②當(dāng)點E在BC上時，如圖（備用圖），設(shè)EP=12a，則EM=13a，MP=NP=5a，
∵△EBP∽△ABC，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{EP}{AC}$，
即$\frac{BP}{30}$=$\frac{12a}{40}$，
解得BP=9a，
∴BN=9a-5a=4a，AM=50-9a-5a=50-14a，
∵△AME∽△ENB，
∴$\frac{AM}{EN}$=$\frac{ME}{BN}$，
即$\frac{50-14a}{13a}$=$\frac{13a}{4a}$，
解得a=$\frac{8}{9}$，
∴AP=50-9a=50-9×$\frac{8}{9}$=42．
所以AP的長為：22或42．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，在解題時要注意知識的綜合應(yīng)是解本題的關(guān)鍵．