Question

8．已知拋物線y=-x²+bx+c交x軸于C（1，0），D（3，0）兩點（點C在點D的左側），點A為拋物線的頂點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）請在這個二次函數的對稱軸上確定一點B，使△ACB是等腰三角形，求出點B的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點C和點D的坐標代入拋物線y=-x²+bx+c得出方程組，解方程組即可；
（2）分三種情況：①當BA=BC時；②當AB=AC時；③當CB=CA時；分別得出點B的坐標即可．

解答 解：（1）把C（1，0），D（3，0）代入y=-x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函數的解析式為：y═-x²+4x-3；
（2）∵y═-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴頂點A的坐標為（2，1），△ACB是等腰三角形，分三種情況：
①當BA=BC時，
∵OE=2，OC=1，AE=1，
∴CE=OE-OC=1=AE，△ACE是等腰直角三角形，點B與點E重合，
∴B（2，0）；
②當AB=AC時，如圖1所示：
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$，
∴點B的坐標為（2，1+$\sqrt{2}$）或（2，1-$\sqrt{2}$）；
③當CB=CA時，如圖2所示：
點B與點A關于x軸對稱，點B的坐標為（2，-1）；
綜上所述：△ACB是等腰三角形時，點B的坐標為（2，0）或（2，1+$\sqrt{2}$）或（2，1-$\sqrt{2}$）或（2，-1）．

點評 本題考查了二次函數的解析式的求法、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定、坐標與圖形性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要進行分類討論才能得出結果．