Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點(diǎn)H，且AE=BE．求證：
（1）∠BAC=2∠CBE；
（2）AH=2BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高的定義求出∠ADC=∠BEC=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CAD=∠CBE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAC=2∠CAD=2∠BAD即可；
（2）根據(jù)ASA推出△AEH≌△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AH=BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BC=2BD即可．

解答 證明：（1）∵AD和BE是高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
∵AB=AC，AE是高，
∴∠BAC=2∠CAD=2∠BAD，
∴∠BAC=2∠CBE；

（2）∵AD和BE是高，
∴∠AEH=∠BEC=90°，
在△AEH和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠CBE}\\{AE=BE}\\{∠AEH=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD是高，
∴BC=2BD，
∴AH=2BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．