Question

13．在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC＜60°）
（1）如圖1，當點D在AC邊上時，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，請直接寫出AB，DC和BC之間的數量關系．
（2）如圖2，當點D在△ABC內部，且∠ACD=30°時，
①若∠BDC=150°，直接寫出AB，AD和BC之間的數量關系，并寫出結論成立的思路．
②若∠ABC=2α，∠ACB=60°-α，請直接寫出∠ADB的度數（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）在BC上截取BE=BA，連接DE，由三角形內角和定理求出∠A=180°-∠ABC-∠ACB=106°，由角平分線得出∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC=21°，由SAS證明△BDE≌△BDA，得出∠BED=∠A=106°，∠CED=74°，再由三角形的外角性質得出∠CDE=∠CED，證出CE=CD，即可得出結論；
（2）①延長BA到點E，使BE=BC，連接ED，EC，由SAS證明△BED≌△BCD，得出DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°，證出△CDE為等邊三角形，得出∠ACE=∠ACD=30°，AC垂直平分DE．由線段垂直平分線的性質得出AD=AE，即可得出結論；
②同①，延長BA到點E，使BE=BC，連接ED，EC，由三角形內角和定理求出∠BDC=150°，由SAS證明△BED≌△BCD，得出DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°，∠BED=∠BCD=30°-α，證出△CDE為等邊三角形，得出∠ACE=∠ACD=30°，AC垂直平分DE．證出AD=AE，得出∠ADE=∠BED=30°-α，即可求出∠ADB=120°+α．

解答 解：（1）BC=AB+DC，理由如下：
在BC上截取BE=BA，連接DE，如圖1所示：
∵∠ABC=42°，∠ACB=32°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=106°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC=21°，
在△BDE和△BDA中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BA}&{\;}\\{∠2=∠1}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDA（SAS），
∴∠BED=∠A=106°，
∴∠CED=180°-106°=74°，
∵∠BED=∠C+∠CDE，
∴∠CDE=∠BED-∠C=74°=∠CED，
∴CE=CD，
∴BC=BE+CE=AB+CD；
（2）①BC=AB+AD，思路如下：
延長BA到點E，使BE=BC，連接ED，EC，如圖2所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△BED≌△BCD（SAS），
∴DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°
∴∠EDC=360°-150°-150°=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∵∠ACD=30°，
∴∠ACE=∠ACD=30°
∴AC垂直平分DE．
∴AD=AE，
∴BC=BE=AB+AE=AB+AD；
②∠ADB=120°+α．理由如下：
同①，延長BA到點E，使BE=BC，連接ED，EC，如圖3所示：
∵∠ACD=30°，∠ACB=60°-α，
∴∠BCD=30°-α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=α，
∴∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-α-（30°-α）=150°，
∵BD=BD，
∴△BED≌△BCD（SAS），
∴DE=DC，∠BDE=∠BDC=150°，∠BED=∠BCD=30°-α，
∴∠EDC=360°-150°-150°=60°，
∴△CDE為等邊三角形，
∵∠ACD=30°，
∴∠ACE=∠ACD=30°，
∴AC垂直平分DE．
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠BED=30°-α，
∴∠ADB=150°-（30°-α）=120°+α．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、三角形的外角性質、三角形內角和定理、等腰三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和等邊三角形是解決問題的關鍵．