Question

14．如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為3和4，∠A=120°，則圖中陰影部分的面積$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 作BM⊥FG于M，交EC于N，如圖，根據(jù)菱形的性質得BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，則∠BCN=∠BGM=60°，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△BCN中可計算出BN=$\sqrt{3}$CN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，在Rt△BMG中可計算出BM=$\sqrt{3}$GM=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，則MN=BM-BN=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，然后根據(jù)三角形面積公式和梯形面積公式，利用S_陰影部分=S_△BCD+S_梯形CDFG-S_△BGF進行計算即可．另一種解法為把陰影部分的面積轉化為△BCD的面積進行計算．

解答 解：作BM⊥FG于M，交EC于N，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形CGFE為菱形，
∴BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，
∴∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，
∴∠BCN=∠BGM=60°，
∵BM⊥GF，
∴BN⊥EC，
在Rt△BCN中，∵∠NBC=30°，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
BN=$\sqrt{3}$CN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△BMG中，GM=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{7}{2}$，
BM=$\sqrt{3}$GM=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∴MN=BM-BN=$\frac{7\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影部分=S_△BCD+S_梯形CDFG-S_△BGF
=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×（3+4）×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{7\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
另一種解法：連接CF，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形CGFE為菱形，∠A=120°，
∴∠DBC=∠FCG=30°，
∴BD∥CF，
∴S_△FDB=S_△CDB=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{3}}{4}$•3²=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．利用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積是解決此題的關鍵，記住含30度的直角三角形三邊的關系．