Question

9．已知拋物線拋物線y_n=-（x-a_n）²+a_n（n為正整數(shù)，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n）與x軸的交點為A_n-1（b_n-1，0）和A_n（b_n，0），當n=1時，第1條拋物線y₁=-（x-a₁）²+a₁與x軸的交點為A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此類推．
（1）求a₁，b₁的值及拋物線y₂的解析式；
（2）拋物線y₃的頂點坐標為（9，9）；依此類推第n條拋物線y_n的頂點坐標為（n²，n²）；所有拋物線的頂點坐標滿足的函數(shù)關(guān)系是y=x；
（3）探究下列結(jié)論：
若用A_n-1A_n表示第n條拋物線被x軸截得得線段長，直接寫出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n．

Answer 1

分析 （1）因為點A₀（0，0）在拋物線y₁=-（x-a₁）²+a₁上，可求得a₁=1，則y₁=-（x-1）²+1；令y₁=0，求得A₁（2，0），b₁=2；再由點A₁（2，0）在拋物線y₂=-（x-a₂）²+a₂上，求得a₂=4，y₂=-（x-4）²+4．
（2）求得y₁的頂點坐標（1，1），y₂的頂點坐標（4，4），y₃的頂點坐標（9，9），依此類推，y_n的頂點坐標為（n²，n²）．因為所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，所以頂點坐標滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x．
（3）由A₀（0，0），A₁（2，0），求得A₀A₁=2；y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，求得A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），所以A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．

解答 解：（1）∵當n=1時，第1條拋物線y₁=-（x-a₁）²+a₁與x軸的交點為A₀（0，0），
∴0=-（0-a₁）²+a₁，
解得a₁=1或a₁=0．
由已知a₁＞0，
∴a₁=1，
∴y₁=-（x-1）²+1．
令y₁=0，即-（x-1）²+1=0，
解得x=0或x=2，
∴A₁（2，0），b₁=2．
由題意，當n=2時，第2條拋物線y₂=-（x-a₂）²+a₂經(jīng)過點A₁（2，0），
∴0=-（2-a₂）²+a₂，
解得a₂=1或a₂=4，
∵a₁=1，且已知a₂＞a₁，
∴a₂=4，
∴y₂=-（x-4）²+4．
∴a₁=1，b₁=2，y₂=-（x-4）²+4．

（2）拋物線y₂=-（x-4）²+4，令y₂=0，即-（x-4）²+4=0，
解得x=2或x=6．
∵A₁（2，0），
∴A₂（6，0）．
由題意，當n=3時，第3條拋物線y₃=-（x-a₃）²+a₃經(jīng)過點A₂（6，0），
∴0=-（6-a₃）²+a₃，
解得a₃=4或a₃=9．
∵a₂=4，且已知a₃＞a₂，
∴a₃=9，
∴y₃=-（x-9）²+9．
∴y₃的頂點坐標為（9，9）．
由y₁的頂點坐標（1，1），y₂的頂點坐標（4，4），y₃的頂點坐標（9，9），
依此類推，y_n的頂點坐標為（n²，n²）．
∵所有拋物線頂點的橫坐標等于縱坐標，
∴頂點坐標滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x．

故答案是：9，9；n²，n²；y=x；

（3）∵A₀（0，0），A₁（2，0），
∴A₀A₁=2．
y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，即-（x-n²）²+n²=0，
解得x=n²+n或x=n²-n，
∴A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），
即A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、頂點坐標、拋物線與x軸的交點坐標、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、解一元二次方程、根與系數(shù)關(guān)系、勾股定理等知識點．本題涉及考點眾多，計算量比較大，有一點的難度．