Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，BD，EF是⊙O的弦，EF⊥AB于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D的直線與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若△CDG是等邊三角形．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=10，HB=2，求△CDG的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，先證∠CDG=60°，再證出∠ODB=30°，得出∠ODC=90°，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD、BG，得出DG，即可求出周長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵△CDG是等邊三角形，
∴∠CDG=∠CGD=60°，
∴∠BGH=∠CGD=60°，
∵EF⊥AB，
∴∠BHG=90°，
∴∠B=30°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B=30°，
∴∠ODB+∠CDG=90°，
即∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AB=10，∠B=30°，
∴BD=AB•sin30°=5$\sqrt{3}$，
∵BG=$\frac{BH}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴DG=5$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{11\sqrt{3}}{3}$，
∴CDG的周長(zhǎng)=3DG=11$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的運(yùn)用；熟練掌握切線的判定方法，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．