Question

15．已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的內(nèi)部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）若∠COD=180°-α?xí)r，探索下面兩個(gè)問題：
①如圖1，當(dāng)OC在OD左側(cè)，求∠MON的度數(shù)；
②當(dāng)OC在OD右側(cè)，請(qǐng)?jiān)趫D2內(nèi)補(bǔ)全圖形，并求出∠MON的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）如圖3，當(dāng)∠COD=kα，且OC在OD左側(cè)時(shí)，直接寫出∠MON的度數(shù)（用含α、k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)角平分線的定義，得出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，再根據(jù)∠AOB=α，∠COD=180°-α，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-（180°-α）=2α-180°，進(jìn)而得出∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（2α-180°）=α-90°，最后根據(jù)∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)①中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得出∠MON的度數(shù)；
（2）先根據(jù)角平分線的定義，得出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，再根據(jù)∠AOB=α，∠COD=kα，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-kα，進(jìn)而得到∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（α-kα）=$\frac{1}{2}$α（1-k），最后根據(jù)∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）①如圖1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOB=α，∠COD=180°-α，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-（180°-α）=2α-180°，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（2α-180°）=α-90°，
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-（α-90°）=90°；

 ②當(dāng)OC在OD右側(cè)，補(bǔ)全圖形如圖2所畫，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵∠AOB=α，∠COD=180°-α，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°-α）=180°，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-90°；

（2）∠MON的度數(shù)為$\frac{1}{2}$（1+k）α．
理由：如圖3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOB=α，∠COD=kα，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=α-kα，
∴∠AOM+∠BON=$\frac{1}{2}$（α-kα）=$\frac{1}{2}$α（1-k），
∴∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=α-$\frac{1}{2}$α（1-k）=$\frac{1}{2}$（1+k）α．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角的計(jì)算以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．解題時(shí)注意：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．