Question

5．如圖，等邊△ABC的邊長為4cm，點D從B點出發(fā)，沿BA方向運動到點A，到點A停止運動，點E從B點出發(fā)，沿BC方向運動，點D，E的速度分別為1cm/s，2cm/s，它們同時出發(fā)且同時停止，設它們運動的時間為t秒．
（1）求證：以E為圓心，以DE為半徑的圓與直線AB相切；
（2）當時間t為何值時，以E為圓心，以DE為半徑的圓與直線AC相切？

Answer 1

分析 （1）過點D作DM⊥AC于點M，由△ABC為等邊三角形，得出∠B=60°，可得BM=$\frac{1}{2}$t，DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，再求得BE與ME的長，則可得在△BDE中，BD²+DE²=BE²，由勾股定理的逆定理得出∠BDE=90°，即可得出AB與⊙D相切；
（2）作EF⊥AC于F，連接AE，由切線長定理可得AE平分∠BAC，然后由等邊三角形的性質(zhì)，求得BE的長，即可得出結(jié)果；

解答 （1）證明：過點D作DM⊥BC于點M，如圖1所示：
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BDM中，
∵BD=t，∠B=60°，
∴BM=$\frac{1}{2}$t，DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∵BE=2t，∴ME=$\frac{3}{2}$t，在Rt△DME中，DE²=DM²+ME²=3t²，在△BDE中，∵BD²=t²，BE²=4t²，DE²=3t²，∴BD²+DE²=BE²，∴∠BDE=90°，∴AB與⊙E相切；  
 （2）解：作EF⊥AC于F，連接AE，如圖2所示：
∵AB、AC與⊙O相切，
∴AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵BC=4，
∴BE=2，
∴t=1；
即t=1s時，以E為圓心，以DE為半徑的圓與直線AC相切．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)與判定、勾股定理以及逆定理、圓與圓的位置關系切線長定理等知識；此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用．