Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，點B、C在x軸上，點A在y軸上，線段BA所在的直線解析式為y=

3

4

x+3，AC⊥AB．

（1）求C點坐標；
（2）袋內E從B點出發(fā)，沿線段BA向A點以每秒1個單位的速度運動，點F從點C出發(fā)沿射線AC方向以每秒2個單位的速度運動；E、F兩點同時出發(fā)，當E到達終點時，F點也停止運動，連接EF，以EF為斜邊在EF的下方作Rt△EFP，使∠EFP的正切值為

1

2

，過P作BC的垂線，垂足為K，連接EK，設△BEK的面積為S，求出S與t的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）條件下，點Q是y軸上一點，當△PEQ是以PQ為腰的等腰直角三角形時，求t的值．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據直線AB的解析式即可求得A、B的坐標，從而求得OA、OB，然后根據△AOB∽△COA，即可求得OC，從而求得C的坐標；
（2）連接BP、CP、EP，先求得△PBE∽△PCF，得出∠BPE=∠CPF，從而證得△BPC∽△EPF，得出∠EFP=∠BCP，∠PBC=∠PEF，得出

BK

PK

=

1

2

，

PK

CK

=

1

2

，進而得出

BK

CK

=

1

4

，從而求得BK、EN，然后根據三角形的面積公式即可求得S與t的函數關系式；
（3）分兩種情況分別討論即可求得．

解答：解：（1）∵點A、B在直線y=

3

4

x+3上，
∴A（0，3），B（-4，0），
∴OA=3，OB=4，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=∠AOC=∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=∠BAO+OAC=90°，
∴∠ABO=∠OAC，
∴△AOB∽△COA，
∴

AO

CO

=

OB

OA

，
∴OC=

9

4

，
∴C（

9

4

，0）．

（2）如圖1，連接BP、CP、EP，作EN⊥BC于N，PK⊥BC于K，
∵∠BAC=∠EPF=90°，
∴∠AEP+∠AFP=180°，
∵∠BEP+∠AEP=180°，
∴∠BEP=∠CFP，
∵BE=t，CF=2t，

PE

PF

=

1

2

，
∴

BE

CF

=

PE

PF

，
∴△PBE∽△PCF，
∴∠BPE=∠CPF，
∵∠EPF=90°，
∴∠BPC=∠EPF=90°，
∵

BP

CP

=

EP

FP

，
∴△BPC∽△EPF，
∴∠EFP=∠BCP，∠PBC=∠PEF，
∴

BK

PK

=

1

2

，

PK

CK

=

1

2

，
∴

BK

CK

=

1

4

，
∵BC=4+

9

4

=

25

4

，
∴BK=

5

4

，
∵EN=

3

5

BE=

3

5

t，
∴S=

1

2

BK•EN=

1

2

×

5

4

×

3

5

t=

3

8

t（0＜t＜5）．

（3）由（2）可得：PK=

5

2

，
∴P（-

11

4

，-

5

2

），
當∠PQE=90°時，如圖2，則EN=

3

5

t，BN=

4

5

t，ES=4-

4

5

t，ST=

3

5

t+

5

2

，
易證△ESQ∽△QTP，
∴QS=PT，
∴4-

4

5

t+

11

4

=

3

5

t+

5

2

，
∴t=

85

28

；
當∠EPQ=90°時，如圖3，則EN=

3

5

，ET=

3

5

t+

5

2

，
易證△ETP∽△PVQ，
∴ET=PV，
∴

11

4

=

3

5

t+

5

2

，
∴t=

5

12

；
綜上所述：t的值為

85

28

或

5

12

．

點評：本題是一次函數的綜合題，考查了一次函數圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質，直角三角函數的應用以及三角形面積公式的應用等，根據題意作出圖形是解題的關鍵．