Question

10．若直線$y=\frac{1}{2}x+2$分別交x軸、y軸于A、B兩點，點P是該直線上的一點，PC⊥x軸，C為垂足．
（1）求△AOB的面積．
（2）如果四邊形PCOB的面積等△AOB的面積的一半，求出此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的解析式求得與坐標(biāo)軸的交點，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可；
（2）設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m+2），根據(jù)梯形的面積公式列出方程解方程即可求得．

解答 解：（1）由y=$\frac{1}{2}$x+2可知A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=4；
（2）設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∵四邊形PCOB的面積等△AOB的面積的一半，S_△AOB=4，
∴四邊形PCOB的面積為2，
∴$\frac{1}{2}$（|$\frac{1}{2}$m+2|+2）（|m|）=2，
當(dāng)m＞0時，m²+8m-8=0，求解并舍去負(fù)值得m=2$\sqrt{6}-4$；
當(dāng)0＞m≥-4時，m²+8m+8=0，求解并舍去不是這個區(qū)間的值，得m=2$\sqrt{2}$-4；
當(dāng)m＜-4時，$\frac{1}{2}{m}^{2}=4$，解得m=$±2\sqrt{2}$（都不合題意，舍去）
解得m=2$\sqrt{6}-4$或m=2$\sqrt{2}$-4，
∴P點坐標(biāo)為（2$\sqrt{6}-4$，$\sqrt{6}$）或（2$\sqrt{2}$-4，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形面積以及梯形的面積，根據(jù)解析式求得與坐標(biāo)軸的交點是解題的關(guān)鍵．