Question

9．已知⊙O的半徑為5，AB是弦，P是直線AB上的一點，PB=3，AB=8，則OP長為$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$．

Answer 1

分析 首先根據題意畫出圖形，然后作OM⊥AB與M．根據垂徑定理和勾股定理求解．

解答 解：如圖，作OM⊥AB與M，
∵AB=8，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵PB=3，
∴PM=1，P′M=7，
在直角△OBM中，OM=$\sqrt{O{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3；
在Rt△OPM中，OP=$\sqrt{O{M}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
在Rt△OMP′中，OP′=$\sqrt{O{M}^{2}+MP{′}^{2}}$=$\sqrt{58}$．
∴OP=$\sqrt{10}$或OP=$\sqrt{58}$．
故答案是：$\sqrt{10}$或$\sqrt{58}$．

點評 此題考查了垂徑定理以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與分類討論思想的應用．