Question

1．如圖，在Rt△ABC 中，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發(fā)沿BA的方向向點A勻速運動，速度為1cm/s，同時點Q由 A出發(fā)沿AC的方向向點C勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ，設(shè)運動的時間為t（s），其中0＜t＜2，解答下列問題：

（1）當t為何值時，以P、Q、A為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時刻t，線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分？若存在，求出此時的t；若不存在，請說明理由；
（3）點P、Q在運動的過程中，△CPQ能否成為等腰三角形？若能，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：△PQA∽△BCA和△PQA∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可；
（2）求出S_△APQ，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（3）分三種情況：PC=PQ、CP=CQ和QP=QC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，運用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解得即可．

解答 解：（1）①如圖1，△PQA∽△BCA時，
$\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t}{4}$，解得t=$\frac{10}{7}$，
②如圖2，△PQA∽△CBA時，
 $\frac{5-t}{4}$=$\frac{2t}{5}$，解得t=$\frac{25}{13}$，
又∵0＜t＜2，
∴t=$\frac{10}{7}$或$\frac{25}{13}$；
（2）如圖3，過點P作PH⊥CA，垂足為點H，
則△PHA∽△BCA，
∴$\frac{5-t}{5}$=$\frac{PH}{3}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（5-t），
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{5}$（5-t）=-$\frac{3}{5}$t²+3t，
線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分，
∴S_△APQ=$\frac{1}{3}$ S_△ABC=$\frac{1}{3}$×6=2或S_△APQ=$\frac{2}{3}$ S_△ABC=$\frac{2}{3}$×6=4，
即：-$\frac{3}{5}$t²+3t=2或-$\frac{3}{5}$t²+3t=4，
-$\frac{3}{5}$t²+3t=2時，整理得：3t²-15t+10=0，
t₁=$\frac{15+\sqrt{105}}{6}$ （舍去）（t₁=$\frac{15+\sqrt{105}}{6}$＞2），t₂=$\frac{15-\sqrt{105}}{6}$，
∴t=$\frac{15-\sqrt{105}}{6}$，
-$\frac{3}{5}$t²+3t=4時，整理得：3t²-15t+20=0，
∵△＜0，
∴t無解．
∴t=$\frac{15-\sqrt{105}}{6}$；
（3）①如圖4，當PC=PQ時，過點P作PG⊥CA，
垂足為點H，由三線合一可知：HQ=2-t，
又∵△PHA∽△BCA時，
 $\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t+（2-t）}{4}$，
∴t=$\frac{10}{9}$；
②如圖5，當CP=CQ時，過點P作PM⊥CB，垂足為點M，
由△BMP∽△BCA可知：BM=$\frac{3}{5}$t，MP=$\frac{4}{5}$t，
∴CM=3-$\frac{3}{5}$t，
在Rt△PMC 中，由勾股定理得：（$\frac{4}{5}$t）²+（3-$\frac{3}{5}$t）²=（4-2t）²，
整理得：15t²-62t+35=0，
解得t=$\frac{31±2\sqrt{109}}{15}$，
即t₁=$\frac{31+2\sqrt{109}}{15}$，t₂=$\frac{31-2\sqrt{109}}{15}$，
∵t₁=$\frac{31+2\sqrt{109}}{15}$＞2．
∴t₁=$\frac{31+2\sqrt{109}}{15}$ （舍去），
∴t=$\frac{31-2\sqrt{109}}{15}$，
③如圖6，當QP=QC時，過點Q作QN⊥AB，垂足為點N，
由△AQN∽△ABC可知：NQ=$\frac{6}{5}$t，NA=$\frac{8}{5}$t，
∴PN=5-t-$\frac{8}{5}$t=5-$\frac{13}{5}$t，
在Rt△QNP 中，由勾股定理得：（$\frac{6}{5}$t）²+（5-$\frac{13}{5}$t）²=（4-2t）²，
整理得：21t²-50t+45=0，
∵△=-1280＜0，
∴方程無解，
∴當t=$\frac{10}{9}$或t=$\frac{31-2\sqrt{109}}{15}$時，△CPQ是等腰三角形．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用，正確作出輔助線、靈活運用定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．