Question

5．已知平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²-（a+1）x與直線y=kx的一個公共點為A（4，8）．
（1）求此拋物線和直線的解析式；
（2）若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法可得出k和a；
（2）設點P的坐標為（t，2t），則可得點Q的坐標，從而求出PQ，再根據二次函數(shù)的最值問題得出最大長度．

解答 解：（1）由題意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，
解得a=1，k=2，
所以，拋物線的解析式為y=x²-2x，直線的解析式為y=2x．

（2）設點P的坐標為（t，2t）（0≤t≤4），可得點Q的坐標為（t，t²-2t），
則PQ=2t-（t²-2t）=4t-t²=-（t-2）²+4，
所以，當t=2時，PQ的長度取得最大值為4．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的解析式、直線的解析式，以及二次函數(shù)的最值．在求有關最值問題時要注意二次函數(shù)的頂點．