Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，將△ABC繞圓心O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，A′C′分別與AB、AC交于E、D兩點(diǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°）．
（1）當(dāng)△A′B′C′與△ABC第一次完全重合時(shí)，α=

 

°．
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，（如圖1），則該圖形

 

．
A．是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形
B．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形
C．既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形
D．既不是軸對(duì)稱圖形，又不是中心對(duì)稱圖形
（3）如圖2，當(dāng)0°＜α＜120°時(shí)，△ADE的周長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生變化？若會(huì)變化，請(qǐng)說明理由；若不會(huì)變化，請(qǐng)直接寫出它的周長(zhǎng)（不需要證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的中心角為120°求解；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)A、A′、B、B′、C、C′為⊙O的6等份點(diǎn)，所有的三角形都是等邊三角形，則可利用正六邊形的性質(zhì)得到所有該圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；
（3）連接OC、OC′、OA、OA′、AA′、AC′，如圖2，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠COC′=∠AOA′=α，AB=A′C′=2，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到

AA′

=

CC′

，
則根據(jù)圓周角定理得∠A′C′A=∠CAC′，所有EC′=EA，再利用AB=A′C′得到

AB

=

A′C′

，則

BA′

=

AC′

，所有∠A′AB=∠AA′C′，則DA=DA′，于是得到
△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=DA′+DE+EC′=A′C′=2．

解答：解：（1）連接OC、OA，如圖1，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴當(dāng)△A′B′C′與△ABC第一次完全重合時(shí)，α=120°；
故答案為120；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)A、A′、B、B′、C、C′為⊙O的6等份點(diǎn)，所有的三角形都是等邊三角形，
所有該圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．
故選C；
（3）△ADE的周長(zhǎng)為2．
連接OC、OC′、OA、OA′、AA′、AC′，如圖2，
∵等邊三角形△ABC繞圓心O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α得到△A′B′C′，
∴∠COC′=∠AOA′=α，AB=A′C′=2，
∴

AA′

=

CC′

，
∴∠A′C′A=∠CAC′，
∴EC′=EA，
∵AB=A′C′，
∴

AB

=

A′C′

，
∴

AB

-

AA′

=

A′C′

-

AA′

，即

BA′

=

AC′

，
∴∠A′AB=∠AA′C′，
∴DA=DA′，
∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=DA′+DE+EC′=A′C′=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理定理、等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決線段相等的問題．