Question

13．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊所在的直線上，過點(diǎn)D作DE∥AC交直線AB于E，DF∥AB交直線AC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，如圖①，此時DE、DF、AC滿足DE+DF=AC．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線或方向延長線上時，如圖②、如圖③，此時，DE、DF、AC分別存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出來，并選擇一個加以證明．
（2）若AC=6，DE=4，則DF=2．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形AFDE是平行四邊形，且△DCF和△BDF是等腰三角形即可證得；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論代入數(shù)據(jù)直接求解．

解答 解：（1）圖②③中：AC+DF=DE．
證明：圖②結(jié)論：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AF=DE．
∵DE∥AC，
∴∠CDF=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠CDF=∠ACB，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠CDF=∠DCF，
∴DF=CF，
∴AC+DF=AF=DE；
同理可證出圖③結(jié)論：AC+DF=AF=DE．
（2）當(dāng)如圖①的情況，DF=AC-DE=6-4=2；
當(dāng)如圖②③的情況，DF=DE-AC=4-6=-2（舍去）．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)依據(jù)平行線的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）證出AC+DF=AF=DE；（2）代入數(shù)據(jù)直接求解．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行四邊形的判定即性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．