Question

3．如圖，AF是△ABC的高，角平分線(xiàn)BD、CE交于點(diǎn)H，點(diǎn)G在BC上，CG=CD，下列結(jié)論：①∠BHC=90°+∠BAC；②HG平分∠BHC；③若HG∥AF，則△ABC為等腰三角形，其中正確的結(jié)論有（　�。﹤�(gè)．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①正確，可以根據(jù)∠BHC=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠ACB=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）解決．
②錯(cuò)誤．如果成立，推出∠BAC=60°，顯然不可能由此對(duì)稱(chēng)結(jié)論．
③正確，可以先證明BD⊥AC，再證明△BDA≌△BDC即可．

解答 解：∵BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，
∴∠HBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠HCG=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∵∠BHC=180°-∠HBC-∠HCB，
∴∠BHC=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠ACB=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），
∴∠BHC=90°+∠BAC；故①正確；
在△CHG和△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CH}\\{∠HCD=∠HCG}\\{CD=CG}\end{array}\right.$，
∴△CHD≌△CHG，
∴∠CHD=∠CHG，
若HG平分∠BHC，則∠BHG=∠CHG=∠CHD=60°，∠BHC=120°，
由①可知∠BAC=60°，顯然題目沒(méi)有這個(gè)條件，故②錯(cuò)誤．
∵HG∥AF，AF⊥BC，
∴∠HGC=∠AFC=90°，
∵△HCD≌△HCG，
∴∠HDC=∠HGC=90°，
∴BD⊥AC，
在△BDA和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\\{∠BDA=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△BDA≌△BDC，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形，故③正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．