Question

14．如圖．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（2，m）．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)P在直線OA上，且滿足PA=2OA，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A在一次函數(shù)圖象上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；
（2）由點(diǎn)P在直線OA上可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2n，n）．由兩點(diǎn)間的距離公式求出OA、PA的長，再由PA=2OA可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（2，m），
∴點(diǎn)A（2，m）在一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象上，
∴m=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）．
∵點(diǎn)A（2，1）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴1=$\frac{k}{2}$，解得：k=2．
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{2}{x}$．
（2）∵點(diǎn)P在直線OA上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2n，n）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PA=$\sqrt{（2n-2）^{2}+（n-1）^{2}}$．
∵PA=2OA，即$\sqrt{（2n-2）^{2}+（n-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得：n₁=-1，n₂=3．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-1）和（6，3）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）找出關(guān)于n的一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．