Question

3．如圖，以AB為直徑的⊙O與AF交于C點，過C作CE⊥BF，且CE與⊙O相切，過C作CD⊥AB交AB于M，AB=10，OM：BM=3：2．
（1）求證：AB=BF．
（2）求AF的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明BC是線段AF的垂直平分線即可解決問題；
（2）由△ACM∽△CBM，可得CM²=AM•BM=16，求出CM，在Rt△ACM中，求出AC即可解決問題；

解答 （1）證明：連接OC、BC．
∵EC是⊙O的切線，
∴OC⊥EC，
∵BF⊥CE，
∴OC∥BF，
∵OA=BO，
∴AC=CF，
∵BA是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AF，
∴BA=BF．

（2）∵AB=10，OM：BM=3：2，
∴OM=3，BM=2，AM=8，
∵CM⊥AB，
易知△ACM∽△CBM，可得CM²=AM•BM=16，
∴CM=4，
在Rt△ACM中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AF=2AC=8$\sqrt{5}$．

點評 本題考查相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．