Question

14．如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，探究PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；
小明同學(xué)探究此問題的方法是：
過P點(diǎn)作PE⊥DC于E點(diǎn)，PF⊥BC于F點(diǎn)，
根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出PE=PF，
再證明△PEQ≌△PFB，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是PB=PQ；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長線上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）過P作PF⊥BC，PE⊥CD，證明Rt△PQE≌Rt△PBF即可；
（2）證明思路同（1），只要證明Rt△PQF≌Rt△PBE即可；

解答 解：（1）結(jié)論：PB=PQ，
理由：過P作PF⊥BC，PE⊥CD，
∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四邊形PECF為正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠QPF+∠QPE=90°，
∴∠BPF=∠QPE，
在△PEQ和△PFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠QPE}\\{PF=PE}\\{∠PFB=∠PEQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQE≌Rt△PBF，
∴PB=PQ；
故答案為PB=PQ．

（2）PB=PQ，
證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四邊形PECF為正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．