Question

在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是優(yōu)弧CAD上一點(diǎn)（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；
（2）點(diǎn)P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時(shí)，∠CP′D與∠CPB有什么關(guān)系？請(qǐng)說明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）根據(jù)垂徑定理知，

CD

=2

BC

，由圓周角定理知，

BC

的度數(shù)等于∠BOC的度數(shù)，

AD

的度數(shù)等于∠CPD的2倍可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)知，∠CP′D=180°-∠CPD，而∠CPD=∠COB，故∠CP′D+∠COB=180°．

解答：（1）證明：如圖所示，連接OD．
∵AB是直徑，AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴∠COB=∠DOB=

1

2

∠COD．
又∵∠CPD=

1

2

∠COD，
∴∠CPD=∠COB；

（2）解：∠CP'D與∠COB的數(shù)量關(guān)系是∠CP'D+∠COB=180°．
理由：∵∠CPD=

1

2

∠COD，∠CP'D=

1

2

（360°-∠COD）=180°-

1

2

∠COD，
∴∠CPD+∠CP'D=180°
由（1）知，∠CPD=∠COB，
∴∠CP'D+∠COB=180°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓心角是解答此題的關(guān)鍵．