Question

12．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D在劣弧AC上，∠ABD=45°．
（1）如圖1，BD交AC于E，連CD，若AB=BD，求證：CD=$\sqrt{2}$DE；
（2）如圖2，連AD、CD，已知tan∠CAD=$\frac{1}{5}$，求sin∠BDC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB=AC，AB=BD得AC=BD，利用圓周角定理，得弧相等，∠ACD=∠ABD=45°，△EDC為等腰直角三角形，得證；
（2）作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用邊角關(guān)系與已知條件，得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AB=BD，
∴AC=BD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，
∴$\widehat{BC}=\widehat{AD}$，
∴∠BDC=∠ABD=45°，
∵∠ACD=∠ABD=45°，
∴△EDC為等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$DE；

（2）解：做DG⊥AC于G，作ON⊥AC于N，延長AO交BC于M，
tan∠CAD=$\frac{DG}{AG}=\frac{1}{5}$，
令DG=GC=1，AG=5，
∴AC=6，AD=$\sqrt{26}$，
∴$OA=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$=$\sqrt{13}$，OC=$\sqrt{13}$，
∵ON⊥AC，
∴$AN=\frac{1}{2}AC=3$，
∵$\frac{AN}{AM}=\frac{OA}{AC}$，
∴$AM=\frac{18}{13}\sqrt{13}$，
∵OM=AM-OA=$\frac{5}{13}\sqrt{13}$，MC=$\frac{12}{13}\sqrt{13}$，
∴sin∠BDC=sin∠MOC=$\frac{MC}{OC}$=$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓周角定理和解直角三角形，熟練運(yùn)用圓周角定理，構(gòu)建直角三角形是解此題的關(guān)鍵．