Question

1．如圖，AB是半徑為R的半圓的直徑，C、D是半圓周上的兩點(diǎn)，已知$\widehat{AC}$、$\widehat{BD}$的度數(shù)分別是90°和30°，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，則PC+PD的最小值是$\sqrt{3}$R．

Answer 1

分析 根據(jù)軸對(duì)稱，作出點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD最小，就等于CE的長(zhǎng)．由題意可知∠COE=120°，然后在△COE中求出DE的長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接CE交AB于P，則此時(shí)PC+PD的值最小，且PC+PD=PC+PE=CE．連接OC、OE；
∵弧AC的度數(shù)為90°，弧BD的度數(shù)為30°；
∴弧CB的度數(shù)為90°；
∴弧CBE的度數(shù)為120°，即∠COE=120°；
過O作OF⊥CE于F，則∠COF=60°；
Rt△OCF中，OC=R，∠COF=60°；因此CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R；
∴CE=2CF=$\sqrt{3}$R，即PC+PD的最小值為$\sqrt{3}$R．
故答案為：$\sqrt{3}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)軸對(duì)稱找出點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E，由兩點(diǎn)之間線段最短，確定CE的長(zhǎng)就是PC+PD的最小值，然后由題目所告訴弧的度數(shù)得到∠COE的度數(shù)，在△COE中求出CE的長(zhǎng)．