Question

1．點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，點P是BC上任意一點，AP⊥PF，且AP=PF，連接CF．
（1）求證：∠BAP=∠FPC；
（2）求∠FCE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）作FH⊥CE于H，則∠FHP=90°，先證出∠FPH=∠BAP，再由AAS證明△ABP≌△PHF，即可得出結(jié)論；
（2）由△ABP≌△PHF，得出BP=HF，AB=PH，證出BP=CH，得出CH=HF，即可求出結(jié)果．

解答 （1）證明：作FH⊥CE于H，則∠FHP=90°，
∵AP⊥PF，∴∠APF=90°，
∴∠APB+∠FPH=90°，
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠FPH=∠BAP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
在△ABP和△PHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FHP=90°}&{\;}\\{∠BAP=∠FPH}&{\;}\\{AP=PF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PHF（AAS），
∴∠BAP=∠FPC；
（2）解：∵△ABP≌△PHF，
∴BP=HF，AB=PH，
∴PH-PC=BC-PC，
∴BP=CH，
∴CH=HF．
∴∠FCE=∠CFH=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．