Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y₁=ax²-4ax+n與x軸的交點(diǎn)A、B，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D．
（1）若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C（0，3），AB=2，求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若AB=2，求拋物線(xiàn)的最小值；
（3）若a=1，關(guān)于x的方程ax²-4ax+n=0在1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，試求n的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線(xiàn)y₁=ax²-4ax+n過(guò)點(diǎn)C（0，3），求出n，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a，得到拋物線(xiàn)的解析式；
（2）根據(jù)AB=2和根與系數(shù)的關(guān)系列出算式，求出a與n的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，求出拋物線(xiàn)的最小值；
（3）把a(bǔ)=1代入方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式和方程在1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，求出在1＜x＜4的范圍內(nèi)有解．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y₁=ax²-4ax+n過(guò)點(diǎn)C（0，3），
∴n=3，
∴y₁=ax²-4ax+3，
令ax²-4ax+3=0的根為x₁，x₂，得x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{3}{a}$
∵AB=2，
∴|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴16-$\frac{12}{a}$=4，解得a=1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-4x+3，
（2）令ax²-4ax+n=0的根為x₁，x₂，得x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{n}{a}$，
∵AB=2，
∴|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴16-$\frac{4n}{a}$=4，解得n=3a，
拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²-4ax+3a，
∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，
∴y_最小值=$\frac{4a×3a-（4a）^{2}}{4a}$=-a，
（3）∵a=1，
∴關(guān)于x的方程x²-4x+n=0在1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，
∵△=16-4n≥0，
∴n≤4，
x²-4ax+n=0的解為：x₁=$\frac{4+\sqrt{16-4n}}{2}$，x₂=$\frac{4-\sqrt{16-4n}}{2}$，
$\frac{4+\sqrt{16-4n}}{2}$＜4，解得，n＞0，
$\frac{4-\sqrt{16-4n}}{2}$＞1，解得，n＞3，
故ax²-4ax+n=0在1＜x＜4的范圍內(nèi)有解時(shí)，3＜n≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的求法、二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法的步驟是解題的關(guān)鍵．